Integral de (x^(-3/4)-5)/(4*(root(x))) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.

      Luego que $du = - \frac{3 dx}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u - 5}{3 u^{\frac{5}{3}}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u - 5}{u^{\frac{5}{3}}}\, du = - \frac{\int \frac{u - 5}{u^{\frac{5}{3}}}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 5}{u^{\frac{5}{3}}} = \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} - \frac{5}{u^{\frac{5}{3}}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = 3 \sqrt[3]{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{5}{u^{\frac{5}{3}}}\right)\, du = - 5 \int \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}\, du = - \frac{3}{2 u^{\frac{2}{3}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15}{2 u^{\frac{2}{3}}}$

            El resultado es: $3 \sqrt[3]{u} + \frac{15}{2 u^{\frac{2}{3}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt[3]{u} - \frac{5}{2 u^{\frac{2}{3}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{5 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{-5 + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}{4 \sqrt{x}} = - \frac{5 x^{\frac{3}{4}} - 1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{5 x^{\frac{3}{4}} - 1}{4 x^{\frac{5}{4}}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{5 x^{\frac{3}{4}} - 1}{x^{\frac{5}{4}}}\, dx}{4}$

      1. que $u = x^{\frac{3}{4}}$.

         Luego que $du = \frac{3 dx}{4 \sqrt[4]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{20 u - 4}{3 u^{\frac{4}{3}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{20 u - 4}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = \frac{\int \frac{20 u - 4}{u^{\frac{4}{3}}}\, du}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{20 u - 4}{u^{\frac{4}{3}}} = \frac{20}{\sqrt[3]{u}} - \frac{4}{u^{\frac{4}{3}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{20}{\sqrt[3]{u}}\, du = 20 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $30 u^{\frac{2}{3}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{4}{u^{\frac{4}{3}}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = - \frac{3}{\sqrt[3]{u}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{\sqrt[3]{u}}$

               El resultado es: $30 u^{\frac{2}{3}} + \frac{12}{\sqrt[3]{u}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $10 u^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{\sqrt[3]{u}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $10 \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt[4]{x}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{-5 + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}{4 \sqrt{x}} = - \frac{5}{4 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5}{4 \sqrt{x}}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sqrt{x}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}\, dx = - \frac{4}{\sqrt[4]{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

      El resultado es: $- \frac{5 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{5 x^{\frac{3}{4}} + 2}{2 \sqrt[4]{x}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{5 x^{\frac{3}{4}} + 2}{2 \sqrt[4]{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{5 x^{\frac{3}{4}} + 2}{2 \sqrt[4]{x}}+ \mathrm{constant}$