Integral de ((2x^3)-(3x^2)+(4^(2x+1))) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{4^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4^{u}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4^{2 x + 1}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $4^{2 x + 1} = 4 \cdot 4^{2 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cdot 4^{2 x}\, dx = 4 \int 4^{2 x}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{4^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4^{u}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4^{2 x}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 4^{2 x}}{\log{\left(4 \right)}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $4^{2 x + 1} = 4 \cdot 4^{2 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cdot 4^{2 x}\, dx = 4 \int 4^{2 x}\, dx$

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{4^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4^{u}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4^{2 x}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \cdot 4^{2 x}}{\log{\left(4 \right)}}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{2} - x^{3}$

   El resultado es: $\frac{4^{2 x + 1}}{2 \log{\left(4 \right)}} + \frac{x^{4}}{2} - x^{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \cdot 2^{4 x}}{\log{\left(4 \right)}} + \frac{x^{4}}{2} - x^{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \cdot 2^{4 x}}{\log{\left(4 \right)}} + \frac{x^{4}}{2} - x^{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \cdot 2^{4 x}}{\log{\left(4 \right)}} + \frac{x^{4}}{2} - x^{3}+ \mathrm{constant}$