Integral de e^(-x)*(e^(2*x)+3*e^x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{- x}$.

      Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{3 u + 1}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 u + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{3 u + 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{3 u + 1}{u^{2}} = \frac{3}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $3 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{x} - 3 \log{\left(e^{- x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- x} \left(3 e^{x} + e^{2 x}\right) = e^{x} + 3$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 3\, dx = 3 x$

      El resultado es: $3 x + e^{x}$

2. Ahora simplificar:

   $e^{x} - 3 \log{\left(e^{- x} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $e^{x} - 3 \log{\left(e^{- x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{x} - 3 \log{\left(e^{- x} \right)}+ \mathrm{constant}$