Integral de x^5*e^(x^3) dx

1. que $u = x^{3}$.

   Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

   $\int \frac{u e^{u}}{3}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{3}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{3} - \frac{e^{u}}{3}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{x^{3} e^{x^{3}}}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} - 1\right) e^{x^{3}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} - 1\right) e^{x^{3}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} - 1\right) e^{x^{3}}}{3}+ \mathrm{constant}$