Integral de ((1-2lnx)^5)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - 2 \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{x}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{5}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(1 - 2 \log{\left(x \right)}\right)^{6}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - 2 \log{\left(x \right)}\right)^{5}}{x} = - \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5} - 80 \log{\left(x \right)}^{4} + 80 \log{\left(x \right)}^{3} - 40 \log{\left(x \right)}^{2} + 10 \log{\left(x \right)} - 1}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5} - 80 \log{\left(x \right)}^{4} + 80 \log{\left(x \right)}^{3} - 40 \log{\left(x \right)}^{2} + 10 \log{\left(x \right)} - 1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5} - 80 \log{\left(x \right)}^{4} + 80 \log{\left(x \right)}^{3} - 40 \log{\left(x \right)}^{2} + 10 \log{\left(x \right)} - 1}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{32 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{32 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du = - \int \frac{32 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

               $\int \left(- 32 u^{5} + 80 u^{4} - 80 u^{3} + 40 u^{2} - 10 u + 1\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 32 u^{5}\right)\, du = - 32 \int u^{5}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 u^{6}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 80 u^{4}\, du = 80 \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $16 u^{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 80 u^{3}\right)\, du = - 80 \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 20 u^{4}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 40 u^{2}\, du = 40 \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 u^{3}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 10 u\right)\, du = - 10 \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 5 u^{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  El resultado es: $- \frac{16 u^{6}}{3} + 16 u^{5} - 20 u^{4} + \frac{40 u^{3}}{3} - 5 u^{2} + u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{3} + 16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 20 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + \frac{40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{3} - 16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 20 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} - \frac{40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3} - 16 \log{\left(x \right)}^{5} + 20 \log{\left(x \right)}^{4} - \frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} + 5 \log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3} + 16 \log{\left(x \right)}^{5} - 20 \log{\left(x \right)}^{4} + \frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} - 5 \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - 2 \log{\left(x \right)}\right)^{5}}{x} = - \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5}}{x} + \frac{80 \log{\left(x \right)}^{4}}{x} - \frac{80 \log{\left(x \right)}^{3}}{x} + \frac{40 \log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{10 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5}}{x}\right)\, dx = - 32 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{5}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{80 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx = 80 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16 \log{\left(x \right)}^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{80 \log{\left(x \right)}^{3}}{x}\right)\, dx = - 80 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 20 \log{\left(x \right)}^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{40 \log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx = 40 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{10 \log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - 10 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \log{\left(x \right)}^{2}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $- \frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3} + 16 \log{\left(x \right)}^{5} - 20 \log{\left(x \right)}^{4} + \frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} - 5 \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)^{6}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$