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Resolución de integrales/ -2lnx/ ((1-2lnx)^5)/x

Integral de ((1-2lnx)^5)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
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 |                    
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 |  (1 - 2*log(x))    
 |  --------------- dx
 |         x          
 |                    
/                     
0
∫01(1−2log⁡(x))5x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(1 - 2 \log{\left(x \right)}\right)^{5}}{x}\, dx 
Integral((1 - 2*log(x))^5/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1−2log⁡(x)u = 1 - 2 \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=−2dxxdu = - \frac{2 dx}{x} y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u52) du\int \left(- \frac{u^{5}}{2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u5 du=−∫u5 du2\int u^{5}\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u5 du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −u612- \frac{u^{6}}{12}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −(1−2log⁡(x))612- \frac{\left(1 - 2 \log{\left(x \right)}\right)^{6}}{12}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−2log⁡(x))5x=−32log⁡(x)5−80log⁡(x)4+80log⁡(x)3−40log⁡(x)2+10log⁡(x)−1x\frac{\left(1 - 2 \log{\left(x \right)}\right)^{5}}{x} = - \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5} - 80 \log{\left(x \right)}^{4} + 80 \log{\left(x \right)}^{3} - 40 \log{\left(x \right)}^{2} + 10 \log{\left(x \right)} - 1}{x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−32log⁡(x)5−80log⁡(x)4+80log⁡(x)3−40log⁡(x)2+10log⁡(x)−1x) dx=−∫32log⁡(x)5−80log⁡(x)4+80log⁡(x)3−40log⁡(x)2+10log⁡(x)−1x dx\int \left(- \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5} - 80 \log{\left(x \right)}^{4} + 80 \log{\left(x \right)}^{3} - 40 \log{\left(x \right)}^{2} + 10 \log{\left(x \right)} - 1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5} - 80 \log{\left(x \right)}^{4} + 80 \log{\left(x \right)}^{3} - 40 \log{\left(x \right)}^{2} + 10 \log{\left(x \right)} - 1}{x}\, dx

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−32log⁡(1u)5−80log⁡(1u)4+80log⁡(1u)3−40log⁡(1u)2+10log⁡(1u)−1u) du\int \left(- \frac{32 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫32log⁡(1u)5−80log⁡(1u)4+80log⁡(1u)3−40log⁡(1u)2+10log⁡(1u)−1u du=−∫32log⁡(1u)5−80log⁡(1u)4+80log⁡(1u)3−40log⁡(1u)2+10log⁡(1u)−1u du\int \frac{32 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du = - \int \frac{32 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 80 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

            ∫(−32u5+80u4−80u3+40u2−10u+1) du\int \left(- 32 u^{5} + 80 u^{4} - 80 u^{3} + 40 u^{2} - 10 u + 1\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−32u5) du=−32∫u5 du\int \left(- 32 u^{5}\right)\, du = - 32 \int u^{5}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u5 du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

                Por lo tanto, el resultado es: −16u63- \frac{16 u^{6}}{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫80u4 du=80∫u4 du\int 80 u^{4}\, du = 80 \int u^{4}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                Por lo tanto, el resultado es: 16u516 u^{5}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−80u3) du=−80∫u3 du\int \left(- 80 u^{3}\right)\, du = - 80 \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −20u4- 20 u^{4}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫40u2 du=40∫u2 du\int 40 u^{2}\, du = 40 \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: 40u33\frac{40 u^{3}}{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−10u) du=−10∫u du\int \left(- 10 u\right)\, du = - 10 \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −5u2- 5 u^{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              El resultado es: −16u63+16u5−20u4+40u33−5u2+u- \frac{16 u^{6}}{3} + 16 u^{5} - 20 u^{4} + \frac{40 u^{3}}{3} - 5 u^{2} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −16log⁡(1u)63+16log⁡(1u)5−20log⁡(1u)4+40log⁡(1u)33−5log⁡(1u)2+log⁡(1u)- \frac{16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{3} + 16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - 20 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + \frac{40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 16log⁡(1u)63−16log⁡(1u)5+20log⁡(1u)4−40log⁡(1u)33+5log⁡(1u)2−log⁡(1u)\frac{16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{3} - 16 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 20 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} - \frac{40 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        16log⁡(x)63−16log⁡(x)5+20log⁡(x)4−40log⁡(x)33+5log⁡(x)2−log⁡(x)\frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3} - 16 \log{\left(x \right)}^{5} + 20 \log{\left(x \right)}^{4} - \frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} + 5 \log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −16log⁡(x)63+16log⁡(x)5−20log⁡(x)4+40log⁡(x)33−5log⁡(x)2+log⁡(x)- \frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3} + 16 \log{\left(x \right)}^{5} - 20 \log{\left(x \right)}^{4} + \frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} - 5 \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−2log⁡(x))5x=−32log⁡(x)5x+80log⁡(x)4x−80log⁡(x)3x+40log⁡(x)2x−10log⁡(x)x+1x\frac{\left(1 - 2 \log{\left(x \right)}\right)^{5}}{x} = - \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5}}{x} + \frac{80 \log{\left(x \right)}^{4}}{x} - \frac{80 \log{\left(x \right)}^{3}}{x} + \frac{40 \log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{10 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−32log⁡(x)5x) dx=−32∫log⁡(x)5x dx\int \left(- \frac{32 \log{\left(x \right)}^{5}}{x}\right)\, dx = - 32 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)5u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)5u du=−∫log⁡(1u)5u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u5) du\int \left(- u^{5}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u5 du=−∫u5 du\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u5 du=u66\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}

                Por lo tanto, el resultado es: −u66- \frac{u^{6}}{6}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)66- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)66\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)66\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: −16log⁡(x)63- \frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫80log⁡(x)4x dx=80∫log⁡(x)4x dx\int \frac{80 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx = 80 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)4u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)4u du=−∫log⁡(1u)4u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)55- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)55\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)55\frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 16log⁡(x)516 \log{\left(x \right)}^{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−80log⁡(x)3x) dx=−80∫log⁡(x)3x dx\int \left(- \frac{80 \log{\left(x \right)}^{3}}{x}\right)\, dx = - 80 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)3u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)3u du=−∫log⁡(1u)3u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

                Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)44- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)44\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)44\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −20log⁡(x)4- 20 \log{\left(x \right)}^{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫40log⁡(x)2x dx=40∫log⁡(x)2x dx\int \frac{40 \log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx = 40 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 40log⁡(x)33\frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−10log⁡(x)x) dx=−10∫log⁡(x)x dx\int \left(- \frac{10 \log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - 10 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(x)2- 5 \log{\left(x \right)}^{2}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: −16log⁡(x)63+16log⁡(x)5−20log⁡(x)4+40log⁡(x)33−5log⁡(x)2+log⁡(x)- \frac{16 \log{\left(x \right)}^{6}}{3} + 16 \log{\left(x \right)}^{5} - 20 \log{\left(x \right)}^{4} + \frac{40 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} - 5 \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −(2log⁡(x)−1)612- \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)^{6}}{12}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(2log⁡(x)−1)612+constant- \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(2log⁡(x)−1)612+constant- \frac{\left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
41910181894.9061
41910181894.9061

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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