Integral de (-2+x)(1+((2-x)^2)/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x - 2$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{3}}{2} + u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3}}{2}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{4}}{8} + \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x - 2\right)^{4}}{8} + \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 - x\right)^{2}}{2} + 1\right) = \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{2} + 7 x - 6$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{2}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 x\, dx = 7 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-6\right)\, dx = - 6 x$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{8} - x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 6 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\left(x - 2\right)^{2} + 4\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\left(x - 2\right)^{2} + 4\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 2\right)^{2} \left(\left(x - 2\right)^{2} + 4\right)}{8}+ \mathrm{constant}$