Integral de (5x^2+1)(5x^3+3x-8)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(5 x^{3} + 3 x\right) - 8$.

      Luego que $du = \left(15 x^{2} + 3\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{6}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{21}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(5 x^{3} + 3 x\right) - 8\right)^{7}}{21}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x^{2} + 1\right) \left(\left(5 x^{3} + 3 x\right) - 8\right)^{6} = 78125 x^{20} + 296875 x^{18} - 750000 x^{17} + 478125 x^{16} - 2400000 x^{15} + 3421875 x^{14} - 3150000 x^{13} + 8019375 x^{12} - 8560000 x^{11} + 7986825 x^{10} - 13610000 x^{9} + 11578935 x^{8} - 9371520 x^{7} + 11659929 x^{6} - 7691664 x^{5} + 4685760 x^{4} - 4208640 x^{3} + 1863680 x^{2} - 589824 x + 262144$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 78125 x^{20}\, dx = 78125 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{78125 x^{21}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 296875 x^{18}\, dx = 296875 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15625 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 750000 x^{17}\right)\, dx = - 750000 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{125000 x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 478125 x^{16}\, dx = 478125 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $28125 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2400000 x^{15}\right)\, dx = - 2400000 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 150000 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3421875 x^{14}\, dx = 3421875 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $228125 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3150000 x^{13}\right)\, dx = - 3150000 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 225000 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8019375 x^{12}\, dx = 8019375 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $616875 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8560000 x^{11}\right)\, dx = - 8560000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2140000 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7986825 x^{10}\, dx = 7986825 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $726075 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 13610000 x^{9}\right)\, dx = - 13610000 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1361000 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11578935 x^{8}\, dx = 11578935 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3859645 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 9371520 x^{7}\right)\, dx = - 9371520 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1171440 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11659929 x^{6}\, dx = 11659929 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11659929 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 7691664 x^{5}\right)\, dx = - 7691664 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1281944 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4685760 x^{4}\, dx = 4685760 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $937152 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4208640 x^{3}\right)\, dx = - 4208640 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1052160 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1863680 x^{2}\, dx = 1863680 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1863680 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 589824 x\right)\, dx = - 589824 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 294912 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 262144\, dx = 262144 x$

      El resultado es: $\frac{78125 x^{21}}{21} + 15625 x^{19} - \frac{125000 x^{18}}{3} + 28125 x^{17} - 150000 x^{16} + 228125 x^{15} - 225000 x^{14} + 616875 x^{13} - \frac{2140000 x^{12}}{3} + 726075 x^{11} - 1361000 x^{10} + \frac{3859645 x^{9}}{3} - 1171440 x^{8} + \frac{11659929 x^{7}}{7} - 1281944 x^{6} + 937152 x^{5} - 1052160 x^{4} + \frac{1863680 x^{3}}{3} - 294912 x^{2} + 262144 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x^{3} + 3 x - 8\right)^{7}}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x^{3} + 3 x - 8\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x^{3} + 3 x - 8\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$