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Resolución de integrales/ sin4x/ 16x+2/ (16x+24)sin4x

Integral de (16x+24)sin4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
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 |                         
 |  (16*x + 24)*sin(4*x) dx
 |                         
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0
∫01(16x+24)sin⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(16 x + 24\right) \sin{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral((16*x + 24)*sin(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos dudu:

      ∫(usin⁡(u)+6sin⁡(u)) du\int \left(u \sin{\left(u \right)} + 6 \sin{\left(u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(u)) du=−∫cos⁡(u) du\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)- \sin{\left(u \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6sin⁡(u) du=6∫sin⁡(u) du\int 6 \sin{\left(u \right)}\, du = 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(u)- 6 \cos{\left(u \right)}

        El resultado es: −ucos⁡(u)+sin⁡(u)−6cos⁡(u)- u \cos{\left(u \right)} + \sin{\left(u \right)} - 6 \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)−6cos⁡(4x)- 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} - 6 \cos{\left(4 x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (16x+24)sin⁡(4x)=16xsin⁡(4x)+24sin⁡(4x)\left(16 x + 24\right) \sin{\left(4 x \right)} = 16 x \sin{\left(4 x \right)} + 24 \sin{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫16xsin⁡(4x) dx=16∫xsin⁡(4x) dx\int 16 x \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 16 \int x \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)4) dx=−∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)16- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)- 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫24sin⁡(4x) dx=24∫sin⁡(4x) dx\int 24 \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 24 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(4x)- 6 \cos{\left(4 x \right)}

      El resultado es: −4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)−6cos⁡(4x)- 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} - 6 \cos{\left(4 x \right)}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=16x+24u{\left(x \right)} = 16 x + 24 y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=16\operatorname{du}{\left(x \right)} = 16.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4cos⁡(4x)) dx=−4∫cos⁡(4x) dx\int \left(- 4 \cos{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)- \sin{\left(4 x \right)}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (16x+24)sin⁡(4x)=16xsin⁡(4x)+24sin⁡(4x)\left(16 x + 24\right) \sin{\left(4 x \right)} = 16 x \sin{\left(4 x \right)} + 24 \sin{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫16xsin⁡(4x) dx=16∫xsin⁡(4x) dx\int 16 x \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 16 \int x \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)4) dx=−∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)16- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)- 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫24sin⁡(4x) dx=24∫sin⁡(4x) dx\int 24 \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 24 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(4x)- 6 \cos{\left(4 x \right)}

      El resultado es: −4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)−6cos⁡(4x)- 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} - 6 \cos{\left(4 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)−6cos⁡(4x)+constant- 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} - 6 \cos{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)−6cos⁡(4x)+constant- 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} - 6 \cos{\left(4 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 | (16*x + 24)*sin(4*x) dx = C - 6*cos(4*x) - 4*x*cos(4*x) + sin(4*x)
 |                                                                   
/
∫(16x+24)sin⁡(4x) dx=C−4xcos⁡(4x)+sin⁡(4x)−6cos⁡(4x)\int \left(16 x + 24\right) \sin{\left(4 x \right)}\, dx = C - 4 x \cos{\left(4 x \right)} + \sin{\left(4 x \right)} - 6 \cos{\left(4 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
6 - 10*cos(4) + sin(4)
sin⁡(4)+6−10cos⁡(4)\sin{\left(4 \right)} + 6 - 10 \cos{\left(4 \right)} 
=
= 
6 - 10*cos(4) + sin(4)
sin⁡(4)+6−10cos⁡(4)\sin{\left(4 \right)} + 6 - 10 \cos{\left(4 \right)} 
6 - 10*cos(4) + sin(4)
Respuesta numérica [src] 
11.7796337133282
11.7796337133282

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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