Integral de (e^x+1)/(2sqrt(e^x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u + 1}{2 u^{\frac{3}{2}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + 1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = \frac{\int \frac{u + 1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 1}{u^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{u}} + \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

            El resultado es: $2 \sqrt{u} - \frac{2}{\sqrt{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{e^{x}} - \frac{1}{\sqrt{e^{x}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} + 1}{2 \sqrt{e^{x}}} = \frac{e^{x}}{2 \sqrt{e^{x}}} + \frac{1}{2 \sqrt{e^{x}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{x}}{2 \sqrt{e^{x}}}\, dx = \frac{\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}}}\, dx}{2}$

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{e^{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{e^{x}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \sqrt{e^{x}}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{e^{x}}}\, dx}{2}$

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2}{\sqrt{e^{x}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{\sqrt{e^{x}}}$

      El resultado es: $\sqrt{e^{x}} - \frac{1}{\sqrt{e^{x}}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{x} - 1}{\sqrt{e^{x}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{x} - 1}{\sqrt{e^{x}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{x} - 1}{\sqrt{e^{x}}}+ \mathrm{constant}$