Integral de arcsin√x/√x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = 1 - u^{2}$.

            Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{1 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u \operatorname{asin}{\left(u \right)} + 2 \sqrt{1 - u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \sqrt{1 - x}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. que $u = 1 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \sqrt{1 - x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \sqrt{1 - x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \sqrt{1 - x}+ \mathrm{constant}$