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Resolución de integrales/ x^3+1/ 2*x+1/ 8*x^3/ (8*x^3+1)/(2*x+1)

Integral de (8*x^3+1)/(2*x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3            
  /            
 |             
 |     3       
 |  8*x  + 1   
 |  -------- dx
 |  2*x + 1    
 |             
/              
1
∫138x3+12x+1 dx\int\limits_{1}^{3} \frac{8 x^{3} + 1}{2 x + 1}\, dx 
Integral((8*x^3 + 1)/(2*x + 1), (x, 1, 3))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8x3+12x+1=4x2−2x+1\frac{8 x^{3} + 1}{2 x + 1} = 4 x^{2} - 2 x + 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x2 dx=4∫x2 dx\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x33\frac{4 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 4x33−x2+x\frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} + x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8x3+12x+1=8x32x+1+12x+1\frac{8 x^{3} + 1}{2 x + 1} = \frac{8 x^{3}}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8x32x+1 dx=8∫x32x+1 dx\int \frac{8 x^{3}}{2 x + 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{3}}{2 x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x32x+1=x22−x4+18−18(2x+1)\frac{x^{3}}{2 x + 1} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x22 dx=∫x2 dx2\int \frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{2}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: x36\frac{x^{3}}{6}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−x4) dx=−∫x dx4\int \left(- \frac{x}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{4}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −x28- \frac{x^{2}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−18(2x+1)) dx=−∫12x+1 dx8\int \left(- \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{8}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)16- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

          El resultado es: x36−x28+x8−log⁡(2x+1)16\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x33−x2+x−log⁡(2x+1)2\frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} + x - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

      1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

      El resultado es: 4x33−x2+x+log⁡(2x+1)2−log⁡(2x+1)2\frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} + x + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x(4x23−x+1)x \left(\frac{4 x^{2}}{3} - x + 1\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(4x23−x+1)+constantx \left(\frac{4 x^{2}}{3} - x + 1\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(4x23−x+1)+constantx \left(\frac{4 x^{2}}{3} - x + 1\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                               
 |                                
 |    3                          3
 | 8*x  + 1               2   4*x 
 | -------- dx = C + x - x  + ----
 | 2*x + 1                     3  
 |                                
/
∫8x3+12x+1 dx=C+4x33−x2+x\int \frac{8 x^{3} + 1}{2 x + 1}\, dx = C + \frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} + x
Simplificar
Gráfica
1.03.01.21.41.61.82.02.22.42.62.8050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
86/3
863\frac{86}{3} 
=
= 
86/3
863\frac{86}{3} 
86/3
Respuesta numérica [src] 
28.6666666666667
28.6666666666667

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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