Integral de (8*x^3+1)/(2*x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{8 x^{3} + 1}{2 x + 1} = 4 x^{2} - 2 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} + x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{8 x^{3} + 1}{2 x + 1} = \frac{8 x^{3}}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8 x^{3}}{2 x + 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{3}}{2 x + 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{3}}{2 x + 1} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{2}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{6}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{x}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{4}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{8}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{8 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{8}$

               1. que $u = 2 x + 1$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{8} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} + x - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} - x^{2} + x + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $x \left(\frac{4 x^{2}}{3} - x + 1\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \left(\frac{4 x^{2}}{3} - x + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \left(\frac{4 x^{2}}{3} - x + 1\right)+ \mathrm{constant}$