Integral de 2+(3x^2)/(x^3+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{3} + 1$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x^{3} + 1 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} = \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = x^{2} - x + 1$.

            Luego que $du = \left(2 x - 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $\log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   El resultado es: $2 x + \log{\left(x^{3} + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x + \log{\left(x^{3} + 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x + \log{\left(x^{3} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x + \log{\left(x^{3} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$