Integral de x/(x+9)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(x + 9\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x \sqrt{x + 9} + 9 \sqrt{x + 9}}$

   2. que $u = \sqrt{x + 9}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 9}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \left(u^{2} - 9\right)}{u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} - 9}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{u^{2} - 9}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 9}{u^{2}} = 1 - \frac{9}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{9}{u^{2}}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{u}$

            El resultado es: $u + \frac{9}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u + \frac{18}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x + 9} + \frac{18}{\sqrt{x + 9}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(x + 9\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{x \sqrt{x + 9} + 9 \sqrt{x + 9}}$

   2. que $u = \sqrt{x + 9}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 9}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 \left(u^{2} - 9\right)}{u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} - 9}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{u^{2} - 9}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 9}{u^{2}} = 1 - \frac{9}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{9}{u^{2}}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{u}$

            El resultado es: $u + \frac{9}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u + \frac{18}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x + 9} + \frac{18}{\sqrt{x + 9}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(x + 18\right)}{\sqrt{x + 9}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(x + 18\right)}{\sqrt{x + 9}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(x + 18\right)}{\sqrt{x + 9}}+ \mathrm{constant}$