Integral de cos(4x)cos(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)} \cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos{\left(2 u \right)} \cos{\left(u \right)} = 2 \cos^{3}{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 \cos^{3}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

               2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                     El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + 2 \sin{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

            El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} = 16 \cos^{6}{\left(x \right)} - 24 \cos^{4}{\left(x \right)} + 10 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{6}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3}$

         2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                     Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                     1. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                        El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 4 x$.

                           Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

               El resultado es: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}$

                  2. que $u = \sin{\left(2 x \right)}$.

                     Luego que $du = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

                     1. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

                        El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                        1. que $u = 4 x$.

                           Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                     El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{8}$

                  1. que $u = 2 x$.

                     Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{16}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

               El resultado es: $\frac{5 x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 24 \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 24 \int \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{4}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$

                     1. que $u = 4 x$.

                        Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

                  El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

            El resultado es: $\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9 x - 6 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$