Integral de x^3*e^(x^2+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x^{2} + 1} x^{3} = e x^{3} e^{x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e x^{3} e^{x^{2}}\, dx = e \int x^{3} e^{x^{2}}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e \left(\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2}\right)$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x^{2} + 1} x^{3} = e x^{3} e^{x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e x^{3} e^{x^{2}}\, dx = e \int x^{3} e^{x^{2}}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u e^{u}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e \left(\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right) e^{x^{2} + 1}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 1\right) e^{x^{2} + 1}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 1\right) e^{x^{2} + 1}}{2}+ \mathrm{constant}$