Integral de (e^(2x))/(e^(2x)+2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 16}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{2 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 16} = \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{3}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{3}}\, du}{2}$

         1. que $u = u + 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 \left(u + 2\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{2 x}}{\left(e^{2 x} + 2\right)^{3}} = \frac{e^{2 x}}{e^{6 x} + 6 e^{4 x} + 12 e^{2 x} + 8}$

   2. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 16}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{2 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 16} = \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{3}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{3}}\, du}{2}$

         1. que $u = u + 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 \left(u + 2\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{2 x}}{\left(e^{2 x} + 2\right)^{3}} = \frac{e^{2 x}}{e^{6 x} + 6 e^{4 x} + 12 e^{2 x} + 8}$

   2. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 16}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{2 u^{3} + 12 u^{2} + 24 u + 16} = \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{3}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{3}}\, du}{2}$

         1. que $u = u + 2$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 \left(u + 2\right)^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{4 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{1}{4 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{4 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{4 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$