Integral de x^2ln(x^2+4) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 4 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 4}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 x^{4}}{3 \left(x^{2} + 4\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{x^{4}}{x^{2} + 4}\, dx}{3}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{x^{2} + 4} = x^{2} - 4 + \frac{16}{x^{2} + 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-4\right)\, dx = - 4 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16}{x^{2} + 4}\, dx = 16 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

         PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=4, context=1/(x**2 + 4), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 4), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 4 x + 8 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{9} - \frac{8 x}{3} + \frac{16 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{3} - \frac{2 x^{3}}{9} + \frac{8 x}{3} - \frac{16 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{3} - \frac{2 x^{3}}{9} + \frac{8 x}{3} - \frac{16 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \log{\left(x^{2} + 4 \right)}}{3} - \frac{2 x^{3}}{9} + \frac{8 x}{3} - \frac{16 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$