Integral de (1-x/2)^(-5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \frac{x}{2} + 1$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2}{u^{5}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u^{4}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{1}{2 \left(- \frac{x}{2} + 1\right)^{4}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(- \frac{x}{2} + 1\right)^{5}} = - \frac{32}{\left(x - 2\right)^{5}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{32}{\left(x - 2\right)^{5}}\right)\, dx = - 32 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{5}}\, dx$

      1. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{\left(x - 2\right)^{4}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(- \frac{x}{2} + 1\right)^{5}} = - \frac{32}{x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 32}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{32}{x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 32}\right)\, dx = - 32 \int \frac{1}{x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 32}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 32} = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{5}}$

      2. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{\left(x - 2\right)^{4}}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\left(- \frac{x}{2} + 1\right)^{5}} = \frac{1}{- \frac{x^{5}}{32} + \frac{5 x^{4}}{16} - \frac{5 x^{3}}{4} + \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2} + 1}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- \frac{x^{5}}{32} + \frac{5 x^{4}}{16} - \frac{5 x^{3}}{4} + \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{5 x}{2} + 1} = - \frac{32}{\left(x - 2\right)^{5}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{32}{\left(x - 2\right)^{5}}\right)\, dx = - 32 \int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{5}}\, dx$

      1. que $u = x - 2$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{\left(x - 2\right)^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{8}{\left(x - 2\right)^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8}{\left(x - 2\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8}{\left(x - 2\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$