Integral de (x-1)/(x+1)^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u \left(u^{3} - 1\right) - 3 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u \left(u^{3} - 1\right)\, du = 3 \int u \left(u^{3} - 1\right)\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $u \left(u^{3} - 1\right) = u^{4} - u$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{5}}{5} - \frac{3 u^{2}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{5}}{5} - 3 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{5} - 3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{x}{\sqrt[3]{x + 1}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3 \left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 3 \left(-1 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2} + 3 - \frac{3}{u^{3}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 3 \left(-1 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2}\right)\, du = - 3 \int \left(-1 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(-1 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{6}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u^{2}}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                     El resultado es: $u + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{5 u^{5}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(-1 + \frac{1}{u^{3}}\right)^{2} = \frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{6}}$

                  2. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u^{6} - 2 u^{3} + 1}{u^{6}} = 1 - \frac{2}{u^{3}} + \frac{1}{u^{6}}$

                  3. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{2}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u^{2}}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                     El resultado es: $u + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u - \frac{3}{u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 3\, du = 3 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{3}{u^{3}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{2 u^{2}}$

            El resultado es: $- \frac{3}{2 u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}}\, dx$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{3 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{5} - 3 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{5}+ \mathrm{constant}$