Integral de y=2log(2x+1) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 \log{\left(2 x + 1 \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(2 x + 1 \right)}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 2 x + 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x + \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2} - \frac{1}{2}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x + 1}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{2 x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{2 x + 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x + 1$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{2 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x + \left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1$

2. Ahora simplificar:

   $- 2 x + \left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 x + \left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 x + \left(2 x + 1\right) \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1+ \mathrm{constant}$