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Resolución de integrales/ (1+x)/ x^(3)/ (1+2x)/ (1+2x)/(x^(3)*(1+x))

Integral de (1+2x)/(x^(3)*(1+x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo              
  /              
 |               
 |   1 + 2*x     
 |  ---------- dx
 |   3           
 |  x *(1 + x)   
 |               
/                
1
∫1∞2x+1x3(x+1) dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{2 x + 1}{x^{3} \left(x + 1\right)}\, dx 
Integral((1 + 2*x)/((x^3*(1 + x))), (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+1x3(x+1)=1x+1−1x+1x2+1x3\frac{2 x + 1}{x^{3} \left(x + 1\right)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

      El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x−12x2- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+1x3(x+1)=2x+1x4+x3\frac{2 x + 1}{x^{3} \left(x + 1\right)} = \frac{2 x + 1}{x^{4} + x^{3}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+1x4+x3=1x+1−1x+1x2+1x3\frac{2 x + 1}{x^{4} + x^{3}} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}

    3. Integramos término a término:

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

      El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x−12x2- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+1x3(x+1)=2xx4+x3+1x4+x3\frac{2 x + 1}{x^{3} \left(x + 1\right)} = \frac{2 x}{x^{4} + x^{3}} + \frac{1}{x^{4} + x^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xx4+x3 dx=2∫xx4+x3 dx\int \frac{2 x}{x^{4} + x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{4} + x^{3}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx4+x3=1x+1−1x+1x2\frac{x}{x^{4} + x^{3}} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

          El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(x)+2log⁡(x+1)−2x- 2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{2}{x}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1x4+x3=−1x+1+1x−1x2+1x3\frac{1}{x^{4} + x^{3}} = - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x+1) dx=−∫1x+1 dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1x2) dx=−∫1x2 dx\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

          Por lo tanto, el resultado es: 1x\frac{1}{x}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

        El resultado es: log⁡(x)−log⁡(x+1)+1x−12x2\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}

      El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x−12x2- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x−12x2+constant- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x−12x2+constant- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                                   
 |  1 + 2*x            1             1               
 | ---------- dx = C - - - log(x) - ---- + log(1 + x)
 |  3                  x               2             
 | x *(1 + x)                       2*x              
 |                                                   
/
∫2x+1x3(x+1) dx=C−log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x−12x2\int \frac{2 x + 1}{x^{3} \left(x + 1\right)}\, dx = C - \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}
Simplificar
Gráfica
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.00902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3/2 - log(2)
32−log⁡(2)\frac{3}{2} - \log{\left(2 \right)} 
=
= 
3/2 - log(2)
32−log⁡(2)\frac{3}{2} - \log{\left(2 \right)} 
3/2 - log(2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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