Integral de x(3-x)⁷dx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(3 - x\right)^{7} = - x^{8} + 21 x^{7} - 189 x^{6} + 945 x^{5} - 2835 x^{4} + 5103 x^{3} - 5103 x^{2} + 2187 x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{8}\right)\, dx = - \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{9}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 21 x^{7}\, dx = 21 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 x^{8}}{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 189 x^{6}\right)\, dx = - 189 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 27 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 945 x^{5}\, dx = 945 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{315 x^{6}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2835 x^{4}\right)\, dx = - 2835 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 567 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5103 x^{3}\, dx = 5103 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5103 x^{4}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 5103 x^{2}\right)\, dx = - 5103 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 1701 x^{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2187 x\, dx = 2187 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2187 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{x^{9}}{9} + \frac{21 x^{8}}{8} - 27 x^{7} + \frac{315 x^{6}}{2} - 567 x^{5} + \frac{5103 x^{4}}{4} - 1701 x^{3} + \frac{2187 x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(- 8 x^{7} + 189 x^{6} - 1944 x^{5} + 11340 x^{4} - 40824 x^{3} + 91854 x^{2} - 122472 x + 78732\right)}{72}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(- 8 x^{7} + 189 x^{6} - 1944 x^{5} + 11340 x^{4} - 40824 x^{3} + 91854 x^{2} - 122472 x + 78732\right)}{72}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(- 8 x^{7} + 189 x^{6} - 1944 x^{5} + 11340 x^{4} - 40824 x^{3} + 91854 x^{2} - 122472 x + 78732\right)}{72}+ \mathrm{constant}$