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Resolución de integrales/ sin4x/ (3x+2)/ (3x+2)sin4xdx

Integral de (3x+2)sin4xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  (3*x + 2)*sin(4*x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(3x+2)sin⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x + 2\right) \sin{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral((3*x + 2)*sin(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+2)sin⁡(4x)=3xsin⁡(4x)+2sin⁡(4x)\left(3 x + 2\right) \sin{\left(4 x \right)} = 3 x \sin{\left(4 x \right)} + 2 \sin{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(4x) dx=3∫xsin⁡(4x) dx\int 3 x \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)4) dx=−∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)16- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −3xcos⁡(4x)4+3sin⁡(4x)16- \frac{3 x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(4x) dx=2∫sin⁡(4x) dx\int 2 \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)2- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      El resultado es: −3xcos⁡(4x)4+3sin⁡(4x)16−cos⁡(4x)2- \frac{3 x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x+2u{\left(x \right)} = 3 x + 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3cos⁡(4x)4) dx=−3∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{3 \cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

      1. que u=4xu = 4 x.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(4x)16- \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+2)sin⁡(4x)=3xsin⁡(4x)+2sin⁡(4x)\left(3 x + 2\right) \sin{\left(4 x \right)} = 3 x \sin{\left(4 x \right)} + 2 \sin{\left(4 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(4x) dx=3∫xsin⁡(4x) dx\int 3 x \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)4) dx=−∫cos⁡(4x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)16- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −3xcos⁡(4x)4+3sin⁡(4x)16- \frac{3 x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(4x) dx=2∫sin⁡(4x) dx\int 2 \sin{\left(4 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(4 x \right)}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x)4- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x)2- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      El resultado es: −3xcos⁡(4x)4+3sin⁡(4x)16−cos⁡(4x)2- \frac{3 x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −3xcos⁡(4x)4+3sin⁡(4x)16−cos⁡(4x)2+constant- \frac{3 x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3xcos⁡(4x)4+3sin⁡(4x)16−cos⁡(4x)2+constant- \frac{3 x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                             cos(4*x)   3*sin(4*x)   3*x*cos(4*x)
 | (3*x + 2)*sin(4*x) dx = C - -------- + ---------- - ------------
 |                                2           16            4      
/
∫(3x+2)sin⁡(4x) dx=C−3xcos⁡(4x)4+3sin⁡(4x)16−cos⁡(4x)2\int \left(3 x + 2\right) \sin{\left(4 x \right)}\, dx = C - \frac{3 x \cos{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   5*cos(4)   3*sin(4)
- - -------- + --------
2      4          16
3sin⁡(4)16+12−5cos⁡(4)4\frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{16} + \frac{1}{2} - \frac{5 \cos{\left(4 \right)}}{4} 
=
= 
1   5*cos(4)   3*sin(4)
- - -------- + --------
2      4          16
3sin⁡(4)16+12−5cos⁡(4)4\frac{3 \sin{\left(4 \right)}}{16} + \frac{1}{2} - \frac{5 \cos{\left(4 \right)}}{4} 
1/2 - 5*cos(4)/4 + 3*sin(4)/16
Respuesta numérica [src] 
1.17515405820928
1.17515405820928

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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