Integral de e^(2*x)/(e^(2*x)+8) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u + 16}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 u + 16$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 u + 16 \right)}}{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{2 u + 16} = \frac{1}{2 \left(u + 8\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u + 8\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 8}\, du}{2}$

            1. que $u = u + 8$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 8 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 8 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 e^{2 x} + 16 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{e^{u}}{2 e^{u} + 16}\, du$

      1. que $u = 2 e^{u} + 16$.

         Luego que $du = 2 e^{u} du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 e^{u} + 16 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 e^{2 x} + 16 \right)}}{2}$

   Método #3

   1. que $u = e^{2 x} + 8$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(e^{2 x} + 8 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(2 e^{2 x} + 16 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(2 e^{2 x} + 16 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$