Integral de (x+1)*(x^2-3)/3x^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x^{2} \frac{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - 3\right)}{3} = \frac{x^{5}}{3} + \frac{x^{4}}{3} - x^{3} - x^{2}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{5}}{3}\, dx = \frac{\int x^{5}\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6}}{18}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{4}}{3}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{15}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{2}\right)\, dx = - \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{3}$

   El resultado es: $\frac{x^{6}}{18} + \frac{x^{5}}{15} - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \left(10 x^{3} + 12 x^{2} - 45 x - 60\right)}{180}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \left(10 x^{3} + 12 x^{2} - 45 x - 60\right)}{180}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(10 x^{3} + 12 x^{2} - 45 x - 60\right)}{180}+ \mathrm{constant}$