Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ t^2+2/ (t+2)/(t^2+2t+5)

Integral de (t+2)/(t^2+2t+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |     t + 2       
 |  ------------ dt
 |   2             
 |  t  + 2*t + 5   
 |                 
/                  
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{t + 2}{\left(t^{2} + 2 t\right) + 5}\, dt$$ 
Integral((t + 2)/(t^2 + 2*t + 5), (t, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |    t + 2       
 | ------------ dt
 |  2             
 | t  + 2*t + 5   
 |                
/
Reescribimos la función subintegral
               /  2*t + 2   \                     
               |------------|                     
               | 2          |                     
   t + 2       \t  + 2*t + 5/           1         
------------ = -------------- + ------------------
 2                   2            /         2    \
t  + 2*t + 5                      |/  t   1\     |
                                4*||- - - -|  + 1|
                                  \\  2   2/     /
o
  /                 
 |                  
 |    t + 2         
 | ------------ dt  
 |  2              =
 | t  + 2*t + 5     
 |                  
/                   
  
                       /                 
                      |                  
  /                   |       1          
 |                    | -------------- dt
 |   2*t + 2          |          2       
 | ------------ dt    | /  t   1\        
 |  2                 | |- - - -|  + 1   
 | t  + 2*t + 5       | \  2   2/        
 |                    |                  
/                    /                   
------------------ + --------------------
        2                     4
En integral
  /               
 |                
 |   2*t + 2      
 | ------------ dt
 |  2             
 | t  + 2*t + 5   
 |                
/                 
------------------
        2
hacemos el cambio
     2      
u = t  + 2*t
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 5 + u                
 |                      
/             log(5 + u)
----------- = ----------
     2            2
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*t + 2                          
 | ------------ dt                    
 |  2                                 
 | t  + 2*t + 5                       
 |                      /     2      \
/                    log\5 + t  + 2*t/
------------------ = -----------------
        2                    2
En integral
  /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dt
 |          2       
 | /  t   1\        
 | |- - - -|  + 1   
 | \  2   2/        
 |                  
/                   
--------------------
         4
hacemos el cambio
      1   t
v = - - - -
      2   2
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4
hacemos cambio inverso
  /                               
 |                                
 |       1                        
 | -------------- dt              
 |          2                     
 | /  t   1\                      
 | |- - - -|  + 1                 
 | \  2   2/               /1   t\
 |                     atan|- + -|
/                          \2   2/
-------------------- = -----------
         4                  2
La solución:
        /1   t\                    
    atan|- + -|      /     2      \
        \2   2/   log\5 + t  + 2*t/
C + ----------- + -----------------
         2                2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                          /1   t\                    
 |                       atan|- + -|      /     2      \
 |    t + 2                  \2   2/   log\5 + t  + 2*t/
 | ------------ dt = C + ----------- + -----------------
 |  2                         2                2        
 | t  + 2*t + 5                                         
 |                                                      
/
$$\int \frac{t + 2}{\left(t^{2} + 2 t\right) + 5}\, dt = C + \frac{\log{\left(t^{2} + 2 t + 5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{t}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
log(8)   atan(1/2)   log(5)   pi
------ - --------- - ------ + --
  2          2         2      8
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$ 
=
= 
log(8)   atan(1/2)   log(5)   pi
------ - --------- - ------ + --
  2          2         2      8
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$ 
log(8)/2 - atan(1/2)/2 - log(5)/2 + pi/8
Respuesta numérica [src] 
0.395877091821189
0.395877091821189

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen