Sr Examen
Integral de (t+2)/(t^2+2t+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | t + 2 | ------------ dt | 2 | t + 2*t + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{t + 2}{\left(t^{2} + 2 t\right) + 5}\, dt$$
Integral((t + 2)/(t^2 + 2*t + 5), (t, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | t + 2 | ------------ dt | 2 | t + 2*t + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*t + 2 \
|------------|
| 2 |
t + 2 \t + 2*t + 5/ 1
------------ = -------------- + ------------------
2 2 / 2 \
t + 2*t + 5 |/ t 1\ |
4*||- - - -| + 1|
\\ 2 2/ /o
/ | | t + 2 | ------------ dt | 2 = | t + 2*t + 5 | /
/
|
/ | 1
| | -------------- dt
| 2*t + 2 | 2
| ------------ dt | / t 1\
| 2 | |- - - -| + 1
| t + 2*t + 5 | \ 2 2/
| |
/ /
------------------ + --------------------
2 4 En integral
/
|
| 2*t + 2
| ------------ dt
| 2
| t + 2*t + 5
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = t + 2*t
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 5 + u
|
/ log(5 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*t + 2
| ------------ dt
| 2
| t + 2*t + 5
| / 2 \
/ log\5 + t + 2*t/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
| -------------- dt
| 2
| / t 1\
| |- - - -| + 1
| \ 2 2/
|
/
--------------------
4 hacemos el cambio
1 t
v = - - - -
2 2entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
4 4 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| -------------- dt
| 2
| / t 1\
| |- - - -| + 1
| \ 2 2/ /1 t\
| atan|- + -|
/ \2 2/
-------------------- = -----------
4 2 La solución:
/1 t\
atan|- + -| / 2 \
\2 2/ log\5 + t + 2*t/
C + ----------- + -----------------
2 2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ /1 t\ | atan|- + -| / 2 \ | t + 2 \2 2/ log\5 + t + 2*t/ | ------------ dt = C + ----------- + ----------------- | 2 2 2 | t + 2*t + 5 | /
$$\int \frac{t + 2}{\left(t^{2} + 2 t\right) + 5}\, dt = C + \frac{\log{\left(t^{2} + 2 t + 5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{t}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(8) atan(1/2) log(5) pi ------ - --------- - ------ + -- 2 2 2 8
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$
=
=
log(8) atan(1/2) log(5) pi ------ - --------- - ------ + -- 2 2 2 8
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$
log(8)/2 - atan(1/2)/2 - log(5)/2 + pi/8
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.