Integral de x^2(x^3-1)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} - 1$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{10}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{33}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} - 1\right)^{11}}{33}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(x^{3} - 1\right)^{10} = x^{32} - 10 x^{29} + 45 x^{26} - 120 x^{23} + 210 x^{20} - 252 x^{17} + 210 x^{14} - 120 x^{11} + 45 x^{8} - 10 x^{5} + x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{32}\, dx = \frac{x^{33}}{33}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10 x^{29}\right)\, dx = - 10 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{30}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 45 x^{26}\, dx = 45 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{27}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 120 x^{23}\right)\, dx = - 120 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 210 x^{20}\, dx = 210 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 252 x^{17}\right)\, dx = - 252 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 14 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 210 x^{14}\, dx = 210 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $14 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 120 x^{11}\right)\, dx = - 120 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 10 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 45 x^{8}\, dx = 45 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10 x^{5}\right)\, dx = - 10 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{6}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{33}}{33} - \frac{x^{30}}{3} + \frac{5 x^{27}}{3} - 5 x^{24} + 10 x^{21} - 14 x^{18} + 14 x^{15} - 10 x^{12} + 5 x^{9} - \frac{5 x^{6}}{3} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} - 1\right)^{11}}{33}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} - 1\right)^{11}}{33}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} - 1\right)^{11}}{33}+ \mathrm{constant}$