Integral de (-4xy+6y^2)/(2xy^2-3y^3) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 4 x y + 6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = - \frac{2}{y}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{2}{y}\right)\, dy = - 2 \int \frac{1}{y}\, dy$

      1. Integral $\frac{1}{y}$ es $\log{\left(y \right)}$.

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(y \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 4 x y + 6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = - \frac{4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} + \frac{6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\right)\, dy = - 4 x \int \frac{y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = \frac{3}{2 x \left(2 x - 3 y\right)} + \frac{1}{2 x y}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{2 x \left(2 x - 3 y\right)}\, dy = \frac{3 \int \frac{1}{2 x - 3 y}\, dy}{2 x}$

               1. que $u = 2 x - 3 y$.

                  Luego que $du = - 3 dy$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 x y}\, dy = \frac{\int \frac{1}{y}\, dy}{2 x}$

               1. Integral $\frac{1}{y}$ es $\log{\left(y \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x}$

            El resultado es: $\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x} - \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x \left(\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x} - \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}\right)$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy = 6 \int \frac{y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = \frac{1}{2 x - 3 y}$

         2. que $u = 2 x - 3 y$.

            Luego que $du = - 3 dy$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(2 x - 3 y \right)}$

      El resultado es: $- 4 x \left(\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x} - \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}\right) - 2 \log{\left(2 x - 3 y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \log{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \log{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$