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Resolución de integrales/ 2xy^2/ (-4xy+6y^2)/(2xy^2-3y^3)

Integral de (-4xy+6y^2)/(2xy^2-3y^3) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  -4*x*y + 6*y    
 |  ------------- dy
 |       2      3   
 |  2*x*y  - 3*y    
 |                  
/                   
0
∫01−4xy+6y22xy2−3y3 dy\int\limits_{0}^{1} \frac{- 4 x y + 6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy 
Integral(((-4*x)*y + 6*y^2)/((2*x)*y^2 - 3*y^3), (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −4xy+6y22xy2−3y3=−2y\frac{- 4 x y + 6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = - \frac{2}{y}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2y) dy=−2∫1y dy\int \left(- \frac{2}{y}\right)\, dy = - 2 \int \frac{1}{y}\, dy

      1. Integral 1y\frac{1}{y} es log⁡(y)\log{\left(y \right)}.

      Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(y)- 2 \log{\left(y \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −4xy+6y22xy2−3y3=−4xy2xy2−3y3+6y22xy2−3y3\frac{- 4 x y + 6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = - \frac{4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} + \frac{6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4xy2xy2−3y3) dy=−4x∫y2xy2−3y3 dy\int \left(- \frac{4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\right)\, dy = - 4 x \int \frac{y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          y2xy2−3y3=32x(2x−3y)+12xy\frac{y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = \frac{3}{2 x \left(2 x - 3 y\right)} + \frac{1}{2 x y}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫32x(2x−3y) dy=3∫12x−3y dy2x\int \frac{3}{2 x \left(2 x - 3 y\right)}\, dy = \frac{3 \int \frac{1}{2 x - 3 y}\, dy}{2 x}

            1. que u=2x−3yu = 2 x - 3 y.

              Luego que du=−3dydu = - 3 dy y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

              ∫(−13u) du\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=−∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)3- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(2x−3y)3- \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x−3y)2x- \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12xy dy=∫1y dy2x\int \frac{1}{2 x y}\, dy = \frac{\int \frac{1}{y}\, dy}{2 x}

            1. Integral 1y\frac{1}{y} es log⁡(y)\log{\left(y \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(y)2x\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x}

          El resultado es: log⁡(y)2x−log⁡(2x−3y)2x\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x} - \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}

        Por lo tanto, el resultado es: −4x(log⁡(y)2x−log⁡(2x−3y)2x)- 4 x \left(\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x} - \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6y22xy2−3y3 dy=6∫y22xy2−3y3 dy\int \frac{6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy = 6 \int \frac{y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          y22xy2−3y3=12x−3y\frac{y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}} = \frac{1}{2 x - 3 y}

        2. que u=2x−3yu = 2 x - 3 y.

          Luego que du=−3dydu = - 3 dy y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

          ∫(−13u) du\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)3- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(2x−3y)3- \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(2x−3y)- 2 \log{\left(2 x - 3 y \right)}

      El resultado es: −4x(log⁡(y)2x−log⁡(2x−3y)2x)−2log⁡(2x−3y)- 4 x \left(\frac{\log{\left(y \right)}}{2 x} - \frac{\log{\left(2 x - 3 y \right)}}{2 x}\right) - 2 \log{\left(2 x - 3 y \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2log⁡(y)+constant- 2 \log{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2log⁡(y)+constant- 2 \log{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                               
 |                                
 |             2                  
 | -4*x*y + 6*y                   
 | ------------- dy = C - 2*log(y)
 |      2      3                  
 | 2*x*y  - 3*y                   
 |                                
/
∫−4xy+6y22xy2−3y3 dy=C−2log⁡(y)\int \frac{- 4 x y + 6 y^{2}}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}\, dy = C - 2 \log{\left(y \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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