Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x^3+2x^2+3)/(x-1)(x+1)(x+2)

Integral de (x^3+2x^2+3)/(x-1)(x+1)(x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |   3      2                       
 |  x  + 2*x  + 3                   
 |  -------------*(x + 1)*(x + 2) dx
 |      x - 1                       
 |                                  
/                                   
0
∫01(x3+2x2)+3x−1(x+1)(x+2) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 3}{x - 1} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)\, dx 
Integral((((x^3 + 2*x^2 + 3)/(x - 1))*(x + 1))*(x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+2x2)+3x−1(x+1)(x+2)=x4+6x3+14x2+21x+30+36x−1\frac{\left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 3}{x - 1} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) = x^{4} + 6 x^{3} + 14 x^{2} + 21 x + 30 + \frac{36}{x - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6x3 dx=6∫x3 dx\int 6 x^{3}\, dx = 6 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x42\frac{3 x^{4}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x2 dx=14∫x2 dx\int 14 x^{2}\, dx = 14 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 14x33\frac{14 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫21x dx=21∫x dx\int 21 x\, dx = 21 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 21x22\frac{21 x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫30 dx=30x\int 30\, dx = 30 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫36x−1 dx=36∫1x−1 dx\int \frac{36}{x - 1}\, dx = 36 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 36log⁡(x−1)36 \log{\left(x - 1 \right)}

      El resultado es: x55+3x42+14x33+21x22+30x+36log⁡(x−1)\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{21 x^{2}}{2} + 30 x + 36 \log{\left(x - 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+2x2)+3x−1(x+1)(x+2)=x5+5x4+8x3+7x2+9x+6x−1\frac{\left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 3}{x - 1} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) = \frac{x^{5} + 5 x^{4} + 8 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x + 6}{x - 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x5+5x4+8x3+7x2+9x+6x−1=x4+6x3+14x2+21x+30+36x−1\frac{x^{5} + 5 x^{4} + 8 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x + 6}{x - 1} = x^{4} + 6 x^{3} + 14 x^{2} + 21 x + 30 + \frac{36}{x - 1}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6x3 dx=6∫x3 dx\int 6 x^{3}\, dx = 6 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x42\frac{3 x^{4}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x2 dx=14∫x2 dx\int 14 x^{2}\, dx = 14 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 14x33\frac{14 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫21x dx=21∫x dx\int 21 x\, dx = 21 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 21x22\frac{21 x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫30 dx=30x\int 30\, dx = 30 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫36x−1 dx=36∫1x−1 dx\int \frac{36}{x - 1}\, dx = 36 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 36log⁡(x−1)36 \log{\left(x - 1 \right)}

      El resultado es: x55+3x42+14x33+21x22+30x+36log⁡(x−1)\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{21 x^{2}}{2} + 30 x + 36 \log{\left(x - 1 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x3+2x2)+3x−1(x+1)(x+2)=x5x−1+5x4x−1+8x3x−1+7x2x−1+9xx−1+6x−1\frac{\left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 3}{x - 1} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) = \frac{x^{5}}{x - 1} + \frac{5 x^{4}}{x - 1} + \frac{8 x^{3}}{x - 1} + \frac{7 x^{2}}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 1} + \frac{6}{x - 1}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x5x−1=x4+x3+x2+x+1+1x−1\frac{x^{5}}{x - 1} = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x4 dx=x55\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        El resultado es: x55+x44+x33+x22+x+log⁡(x−1)\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5x4x−1 dx=5∫x4x−1 dx\int \frac{5 x^{4}}{x - 1}\, dx = 5 \int \frac{x^{4}}{x - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x−1=x3+x2+x+1+1x−1\frac{x^{4}}{x - 1} = x^{3} + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          El resultado es: x44+x33+x22+x+log⁡(x−1)\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x44+5x33+5x22+5x+5log⁡(x−1)\frac{5 x^{4}}{4} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 5 x + 5 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8x3x−1 dx=8∫x3x−1 dx\int \frac{8 x^{3}}{x - 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{3}}{x - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x3x−1=x2+x+1+1x−1\frac{x^{3}}{x - 1} = x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          El resultado es: x33+x22+x+log⁡(x−1)\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 8x33+4x2+8x+8log⁡(x−1)\frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} + 8 x + 8 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫7x2x−1 dx=7∫x2x−1 dx\int \frac{7 x^{2}}{x - 1}\, dx = 7 \int \frac{x^{2}}{x - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x−1=x+1+1x−1\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          El resultado es: x22+x+log⁡(x−1)\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 7x22+7x+7log⁡(x−1)\frac{7 x^{2}}{2} + 7 x + 7 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫9xx−1 dx=9∫xx−1 dx\int \frac{9 x}{x - 1}\, dx = 9 \int \frac{x}{x - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx−1=1+1x−1\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          El resultado es: x+log⁡(x−1)x + \log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 9x+9log⁡(x−1)9 x + 9 \log{\left(x - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6x−1 dx=6∫1x−1 dx\int \frac{6}{x - 1}\, dx = 6 \int \frac{1}{x - 1}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 6log⁡(x−1)6 \log{\left(x - 1 \right)}

      El resultado es: x55+3x42+14x33+21x22+30x+30log⁡(x−1)+6log⁡(x−1)\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{21 x^{2}}{2} + 30 x + 30 \log{\left(x - 1 \right)} + 6 \log{\left(x - 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x55+3x42+14x33+21x22+30x+36log⁡(x−1)+constant\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{21 x^{2}}{2} + 30 x + 36 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x55+3x42+14x33+21x22+30x+36log⁡(x−1)+constant\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{21 x^{2}}{2} + 30 x + 36 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                        
 |                                                                                         
 |  3      2                                                       5      4       3       2
 | x  + 2*x  + 3                                                  x    3*x    14*x    21*x 
 | -------------*(x + 1)*(x + 2) dx = C + 30*x + 36*log(-1 + x) + -- + ---- + ----- + -----
 |     x - 1                                                      5     2       3       2  
 |                                                                                         
/
∫(x3+2x2)+3x−1(x+1)(x+2) dx=C+x55+3x42+14x33+21x22+30x+36log⁡(x−1)\int \frac{\left(x^{3} + 2 x^{2}\right) + 3}{x - 1} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)\, dx = C + \frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{14 x^{3}}{3} + \frac{21 x^{2}}{2} + 30 x + 36 \log{\left(x - 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-500000500000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo - 36*pi*I
−∞−36iπ-\infty - 36 i \pi 
=
= 
-oo - 36*pi*I
−∞−36iπ-\infty - 36 i \pi 
-oo - 36*pi*i
Respuesta numérica [src] 
-1540.40777763723
-1540.40777763723

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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