Integral de (9/x+4)^2*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{81 u^{2} + 72 u + 16}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{81 u^{2} + 72 u + 16}{u^{2}}\, du = - \int \frac{81 u^{2} + 72 u + 16}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{81 u^{2} + 72 u + 16}{u^{2}} = 81 + \frac{72}{u} + \frac{16}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 81\, du = 81 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{72}{u}\, du = 72 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $72 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{16}{u^{2}}\, du = 16 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16}{u}$

            El resultado es: $81 u + 72 \log{\left(u \right)} - \frac{16}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 81 u - 72 \log{\left(u \right)} + \frac{16}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $16 x + 72 \log{\left(x \right)} - \frac{81}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 + \frac{9}{x}\right)^{2} = 16 + \frac{72}{x} + \frac{81}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{72}{x}\, dx = 72 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $72 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{81}{x^{2}}\, dx = 81 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{81}{x}$

      El resultado es: $16 x + 72 \log{\left(x \right)} - \frac{81}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 + \frac{9}{x}\right)^{2} = \frac{16 x^{2} + 72 x + 81}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{16 x^{2} + 72 x + 81}{x^{2}} = 16 + \frac{72}{x} + \frac{81}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{72}{x}\, dx = 72 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $72 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{81}{x^{2}}\, dx = 81 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{81}{x}$

      El resultado es: $16 x + 72 \log{\left(x \right)} - \frac{81}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $16 x + 72 \log{\left(x \right)} - \frac{81}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$16 x + 72 \log{\left(x \right)} - \frac{81}{x}+ \mathrm{constant}$