Integral de (e^(3x))/(2e^(3x)-3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3 x}$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{6 u - 9}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 6 u - 9$.

            Luego que $du = 6 du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{1}{6 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(6 u - 9 \right)}}{6}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{6 u - 9} = \frac{1}{3 \left(2 u - 3\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \left(2 u - 3\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{2 u - 3}\, du}{3}$

            1. que $u = 2 u - 3$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 u - 3 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 u - 3 \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(6 e^{3 x} - 9 \right)}}{6}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{e^{u}}{6 e^{u} - 9}\, du$

      1. que $u = 6 e^{u} - 9$.

         Luego que $du = 6 e^{u} du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(6 e^{u} - 9 \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(6 e^{3 x} - 9 \right)}}{6}$

   Método #3

   1. que $u = 2 e^{3 x} - 3$.

      Luego que $du = 6 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{1}{6 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 e^{3 x} - 3 \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(6 e^{3 x} - 9 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(6 e^{3 x} - 9 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$