Integral de ((1-x)^3)/3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{3}\, dx = \frac{\int \left(1 - x\right)^{3}\, dx}{3}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 1 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1 - x\right)^{3} = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $- \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(1 - x\right)^{4}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x - 1\right)^{4}}{12}+ \mathrm{constant}$