Integral de (6x-4)^2-5(3x-4)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 5 \left(3 x - 4\right)^{2}\right)\, dx = - 5 \int \left(3 x - 4\right)^{2}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 3 x - 4$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{2}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(3 x - 4\right)^{3}}{9}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(3 x - 4\right)^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 9 x^{2}\, dx = 9 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 24 x\right)\, dx = - 24 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 12 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 16\, dx = 16 x$

            El resultado es: $3 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \left(3 x - 4\right)^{3}}{9}$

   1. que $u = 6 x - 4$.

      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{u^{2}}{6}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{18}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(6 x - 4\right)^{3}}{18}$

   El resultado es: $- \frac{5 \left(3 x - 4\right)^{3}}{9} + \frac{\left(6 x - 4\right)^{3}}{18}$

2. Ahora simplificar:

   $- 3 x^{3} + 36 x^{2} - 64 x + 32$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 x^{3} + 36 x^{2} - 64 x + 32+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x^{3} + 36 x^{2} - 64 x + 32+ \mathrm{constant}$