Integral de (8x^3-2x)^4 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(8 x^{3} - 2 x\right)^{4} = 4096 x^{12} - 4096 x^{10} + 1536 x^{8} - 256 x^{6} + 16 x^{4}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4096 x^{12}\, dx = 4096 \int x^{12}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4096 x^{13}}{13}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4096 x^{10}\right)\, dx = - 4096 \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4096 x^{11}}{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1536 x^{8}\, dx = 1536 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 x^{9}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 256 x^{6}\right)\, dx = - 256 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{256 x^{7}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 16 x^{4}\, dx = 16 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{5}}{5}$

   El resultado es: $\frac{4096 x^{13}}{13} - \frac{4096 x^{11}}{11} + \frac{512 x^{9}}{3} - \frac{256 x^{7}}{7} + \frac{16 x^{5}}{5}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{16 x^{5} \left(295680 x^{8} - 349440 x^{6} + 160160 x^{4} - 34320 x^{2} + 3003\right)}{15015}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16 x^{5} \left(295680 x^{8} - 349440 x^{6} + 160160 x^{4} - 34320 x^{2} + 3003\right)}{15015}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16 x^{5} \left(295680 x^{8} - 349440 x^{6} + 160160 x^{4} - 34320 x^{2} + 3003\right)}{15015}+ \mathrm{constant}$