Sr Examen

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Integral de (3x+2)/(9+x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1           
  /           
 |            
 |  3*x + 2   
 |  ------- dx
 |        2   
 |   9 + x    
 |            
/             
0             
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 2}{x^{2} + 9}\, dx$$
Integral((3*x + 2)/(9 + x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /          
 |           
 | 3*x + 2   
 | ------- dx
 |       2   
 |  9 + x    
 |           
/            
Reescribimos la función subintegral
                2*x                  
          3*------------      /2\    
             2                |-|    
3*x + 2     x  + 0*x + 9      \9/    
------- = -------------- + ----------
      2         2               2    
 9 + x                     /-x \     
                           |---|  + 1
                           \ 3 /     
o
  /            
 |             
 | 3*x + 2     
 | ------- dx  
 |       2    =
 |  9 + x      
 |             
/              
  
    /                                    
   |                                     
   |     1               /               
2* | ---------- dx      |                
   |      2             |     2*x        
   | /-x \           3* | ------------ dx
   | |---|  + 1         |  2             
   | \ 3 /              | x  + 0*x + 9   
   |                    |                
  /                    /                 
------------------ + --------------------
        9                     2          
En integral
    /               
   |                
   |     2*x        
3* | ------------ dx
   |  2             
   | x  + 0*x + 9   
   |                
  /                 
--------------------
         2          
hacemos el cambio
     2
u = x 
entonces
integral =
    /                       
   |                        
   |   1                    
3* | ----- du               
   | 9 + u                  
   |                        
  /             3*log(9 + u)
------------- = ------------
      2              2      
hacemos cambio inverso
    /                               
   |                                
   |     2*x                        
3* | ------------ dx                
   |  2                             
   | x  + 0*x + 9                   
   |                        /     2\
  /                    3*log\9 + x /
-------------------- = -------------
         2                   2      
En integral
    /             
   |              
   |     1        
2* | ---------- dx
   |      2       
   | /-x \        
   | |---|  + 1   
   | \ 3 /        
   |              
  /               
------------------
        9         
hacemos el cambio
    -x 
v = ---
     3 
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
2* | ------ dv            
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /              2*atan(v)
-------------- = ---------
      9              9    
hacemos cambio inverso
    /                         
   |                          
   |     1                    
2* | ---------- dx            
   |      2                   
   | /-x \                    
   | |---|  + 1               
   | \ 3 /                 /x\
   |                 2*atan|-|
  /                        \3/
------------------ = ---------
        9                3    
La solución:
          /x\                
    2*atan|-|        /     2\
          \3/   3*log\9 + x /
C + --------- + -------------
        3             2      
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                       /x\                
 |                  2*atan|-|        /     2\
 | 3*x + 2                \3/   3*log\9 + x /
 | ------- dx = C + --------- + -------------
 |       2              3             2      
 |  9 + x                                    
 |                                           
/                                            
$$\int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 9}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta [src]
  3*log(9)   2*atan(1/3)   3*log(10)
- -------- + ----------- + ---------
     2            3            2    
$$- \frac{3 \log{\left(9 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2}$$
=
=
  3*log(9)   2*atan(1/3)   3*log(10)
- -------- + ----------- + ---------
     2            3            2    
$$- \frac{3 \log{\left(9 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2}$$
-3*log(9)/2 + 2*atan(1/3)/3 + 3*log(10)/2
Respuesta numérica [src]
0.372541143084501
0.372541143084501

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.