Integral de (x+2)^3ln(x+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 2$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{3} \log{\left(u \right)}\, du$

      1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{4 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$

            1. que $u = 4 u$.

               Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 u}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{16}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{u^{4} \log{\left(u \right)}}{4} - \frac{u^{4}}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x + 2\right)^{4} \log{\left(x + 2 \right)}}{4} - \frac{\left(x + 2\right)^{4}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 2\right)^{3} \log{\left(x + 2 \right)} = x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} + 6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} + 12 x \log{\left(x + 2 \right)} + 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4}}{4 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{4}}{x + 2}\, dx}{4}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{4}}{x + 2} = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + \frac{16}{x + 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-8\right)\, dx = - 8 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{16}{x + 2}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $16 \log{\left(x + 2 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 8 x + 16 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}\, dx = 6 \int x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 4\, dx = 4 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{8 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 8 x + 16 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx = 12 \int x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - 3 x^{2} + 12 x - 24 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \log{\left(x + 2 \right)}\, dx = 8 \int \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = x + 2$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \log{\left(u \right)}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- x + \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 2$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

            3. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 x + 8 \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 16$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x + 2 \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + 2 x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{x^{3}}{2} + 6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} - 2 x + 8 \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 12 \log{\left(x + 2 \right)} - 16$

   Método #3

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \left(x + 2\right)^{3}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + 2\right)^{4}}{4}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + 2\right)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 x^{2}\, dx = 6 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 12 x\, dx = 12 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 8\, dx = 8 x$

            El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(x + 2\right)^{4}}{4 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{\left(x + 2\right)^{4}}{x + 2}\, dx}{4}$

      1. que $u = \left(x + 2\right)^{4}$.

         Luego que $du = 4 \left(x + 2\right)^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x + 2\right)^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(x + 2\right)^{4}}{16}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 2\right)^{3} \log{\left(x + 2 \right)} = x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} + 6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} + 12 x \log{\left(x + 2 \right)} + 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4}}{4 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{4}}{x + 2}\, dx}{4}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x^{4}}{x + 2} = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + \frac{16}{x + 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-8\right)\, dx = - 8 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{16}{x + 2}\, dx = 16 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $16 \log{\left(x + 2 \right)}$

            El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 8 x + 16 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{16} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}\, dx = 6 \int x^{2} \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{3}}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 4\, dx = 4 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{8 \log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} - 8 x + 16 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx = 12 \int x \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x^{2}}{2 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x^{2}}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-2\right)\, dx = - 2 x$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4}{x + 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

                  1. que $u = x + 2$.

                     Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(x + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \log{\left(x + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4} - x + 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - 3 x^{2} + 12 x - 24 \log{\left(x + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \log{\left(x + 2 \right)}\, dx = 8 \int \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x + \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 2$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 x + 8 \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 16$

      El resultado es: $\frac{x^{4} \log{\left(x + 2 \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + 2 x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{x^{3}}{2} + 6 x^{2} \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} - 2 x + 8 \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 12 \log{\left(x + 2 \right)} - 16$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{4} \left(4 \log{\left(x + 2 \right)} - 1\right)}{16}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{4} \left(4 \log{\left(x + 2 \right)} - 1\right)}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 2\right)^{4} \left(4 \log{\left(x + 2 \right)} - 1\right)}{16}+ \mathrm{constant}$