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Resolución de integrales/ (2x+1)/ x/(1+(2x+1)^1/2)

Integral de x/(1+(2x+1)^1/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |         x          
 |  --------------- dx
 |        _________   
 |  1 + \/ 2*x + 1    
 |                    
/                     
0
∫01x2x+1+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 x + 1} + 1}\, dx 
Integral(x/(1 + sqrt(2*x + 1)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=2x+1u = \sqrt{2 x + 1}.

    Luego que du=dx2x+1du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 1}} y ponemos dudu:

    ∫u(u22−12)u+1 du\int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{u + 1}\, du

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u(u22−12)u+1=u22−u2\frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{u + 1} = \frac{u^{2}}{2} - \frac{u}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u22 du=∫u2 du2\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2) du=−∫u du2\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u24- \frac{u^{2}}{4}

        El resultado es: u36−u24\frac{u^{3}}{6} - \frac{u^{2}}{4}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u(u22−12)u+1=u32(u+1)−u2(u+1)\frac{u \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{u + 1} = \frac{u^{3}}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{u}{2 \left(u + 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u32(u+1) du=∫u3u+1 du2\int \frac{u^{3}}{2 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u3u+1=u2−u+1−1u+1\frac{u^{3}}{u + 1} = u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u) du=−∫u du\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u33−u22+u−log⁡(u+1)\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: u36−u24+u2−log⁡(u+1)2\frac{u^{3}}{6} - \frac{u^{2}}{4} + \frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2(u+1)) du=−∫uu+1 du2\int \left(- \frac{u}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{u}{u + 1}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            uu+1=1−1u+1\frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u+1) du=−∫1u+1 du\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

              1. que u=u+1u = u + 1.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u+1)\log{\left(u + 1 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u+1)- \log{\left(u + 1 \right)}

            El resultado es: u−log⁡(u+1)u - \log{\left(u + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2+log⁡(u+1)2- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}

        El resultado es: u36−u24\frac{u^{3}}{6} - \frac{u^{2}}{4}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −x2+(2x+1)326−14- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}

  2. Ahora simplificar:

    −x2+(2x+1)326−14- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x2+(2x+1)326−14+constant- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2+(2x+1)326−14+constant- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                                             3/2
 |        x               1       x   (2*x + 1)   
 | --------------- dx = - - + C - - + ------------
 |       _________        4       2        6      
 | 1 + \/ 2*x + 1                                 
 |                                                
/
∫x2x+1+1 dx=C−x2+(2x+1)326−14\int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1} + 1}\, dx = C - \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{1}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        ___
  2   \/ 3 
- - + -----
  3     2
−23+32- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} 
=
= 
        ___
  2   \/ 3 
- - + -----
  3     2
−23+32- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} 
-2/3 + sqrt(3)/2
Respuesta numérica [src] 
0.199358737117772
0.199358737117772

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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