Integral de (2+3x)⁷ dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x + 2$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{7}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{7}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 2\right)^{8}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x + 2\right)^{7} = 2187 x^{7} + 10206 x^{6} + 20412 x^{5} + 22680 x^{4} + 15120 x^{3} + 6048 x^{2} + 1344 x + 128$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2187 x^{7}\, dx = 2187 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2187 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10206 x^{6}\, dx = 10206 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1458 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 20412 x^{5}\, dx = 20412 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3402 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 22680 x^{4}\, dx = 22680 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4536 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15120 x^{3}\, dx = 15120 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3780 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6048 x^{2}\, dx = 6048 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2016 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1344 x\, dx = 1344 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $672 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 128\, dx = 128 x$

      El resultado es: $\frac{2187 x^{8}}{8} + 1458 x^{7} + 3402 x^{6} + 4536 x^{5} + 3780 x^{4} + 2016 x^{3} + 672 x^{2} + 128 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x + 2\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 2\right)^{8}}{24}+ \mathrm{constant}$