Integral de (1+2cosx)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x + \sin{\left(2 x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $3 x + 4 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)} + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x + \sin{\left(2 x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin{\left(x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $3 x + 4 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 x + 4 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x + 4 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$