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Resolución de integrales/ x^2+4/ 4*x+1/ (3*x-7)/(x^2+4*x+13)

Integral de (3*x-7)/(x^2+4*x+13) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |     3*x - 7      
 |  ------------- dx
 |   2              
 |  x  + 4*x + 13   
 |                  
/                   
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 7}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 13}\, dx$$ 
Integral((3*x - 7)/(x^2 + 4*x + 13), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                
 |                 
 |    3*x - 7      
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 4*x + 13   
 |                 
/
Reescribimos la función subintegral
                     2*x + 4                    
                3*-------------       /-13 \    
                   2                  |----|    
   3*x - 7        x  + 4*x + 13       \ 9  /    
------------- = --------------- + --------------
 2                     2                   2    
x  + 4*x + 13                     /  x   2\     
                                  |- - - -|  + 1
                                  \  3   3/
o
  /                  
 |                   
 |    3*x - 7        
 | ------------- dx  
 |  2               =
 | x  + 4*x + 13     
 |                   
/                    
  
       /                                         
      |                                          
      |       1                 /                
  13* | -------------- dx      |                 
      |          2             |    2*x + 4      
      | /  x   2\           3* | ------------- dx
      | |- - - -|  + 1         |  2              
      | \  3   3/              | x  + 4*x + 13   
      |                        |                 
     /                        /                  
- ----------------------- + ---------------------
             9                        2
En integral
    /                
   |                 
   |    2*x + 4      
3* | ------------- dx
   |  2              
   | x  + 4*x + 13   
   |                 
  /                  
---------------------
          2
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 4*x
entonces
integral =
    /                         
   |                          
   |   1                      
3* | ------ du                
   | 13 + u                   
   |                          
  /              3*log(13 + u)
-------------- = -------------
      2                2
hacemos cambio inverso
    /                                       
   |                                        
   |    2*x + 4                             
3* | ------------- dx                       
   |  2                                     
   | x  + 4*x + 13                          
   |                         /      2      \
  /                     3*log\13 + x  + 4*x/
--------------------- = --------------------
          2                      2
En integral
      /                 
     |                  
     |       1          
-13* | -------------- dx
     |          2       
     | /  x   2\        
     | |- - - -|  + 1   
     | \  3   3/        
     |                  
    /                   
------------------------
           9
hacemos el cambio
      2   x
v = - - - -
      3   3
entonces
integral =
      /                       
     |                        
     |   1                    
-13* | ------ dv              
     |      2                 
     | 1 + v                  
     |                        
    /              -13*atan(v)
---------------- = -----------
       9                9
hacemos cambio inverso
      /                                   
     |                                    
     |       1                            
-13* | -------------- dx                  
     |          2                         
     | /  x   2\                          
     | |- - - -|  + 1                     
     | \  3   3/                   /2   x\
     |                     -13*atan|- + -|
    /                              \3   3/
------------------------ = ---------------
           9                      3
La solución:
           /2   x\                       
    13*atan|- + -|        /      2      \
           \3   3/   3*log\13 + x  + 4*x/
C - -------------- + --------------------
          3                   2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                              /2   x\                       
 |                        13*atan|- + -|        /      2      \
 |    3*x - 7                    \3   3/   3*log\13 + x  + 4*x/
 | ------------- dx = C - -------------- + --------------------
 |  2                           3                   2          
 | x  + 4*x + 13                                               
 |                                                             
/
$$\int \frac{3 x - 7}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 13}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} + 4 x + 13 \right)}}{2} - \frac{13 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} + \frac{2}{3} \right)}}{3}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  13*pi   3*log(13)   3*log(18)   13*atan(2/3)
- ----- - --------- + --------- + ------------
    12        2           2            3
$$- \frac{3 \log{\left(13 \right)}}{2} - \frac{13 \pi}{12} + \frac{13 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{3} + \frac{3 \log{\left(18 \right)}}{2}$$ 
=
= 
  13*pi   3*log(13)   3*log(18)   13*atan(2/3)
- ----- - --------- + --------- + ------------
    12        2           2            3
$$- \frac{3 \log{\left(13 \right)}}{2} - \frac{13 \pi}{12} + \frac{13 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{3} + \frac{3 \log{\left(18 \right)}}{2}$$ 
-13*pi/12 - 3*log(13)/2 + 3*log(18)/2 + 13*atan(2/3)/3
Respuesta numérica [src] 
-0.367247158697541
-0.367247158697541

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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