Integral de (8x+4)ln(3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(8 x + 4\right) \log{\left(3 x \right)} = 8 x \log{\left(x \right)} + 8 x \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(x \right)} + 4 \log{\left(3 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x \log{\left(x \right)}\, dx = 8 \int x \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x \log{\left(3 \right)}\, dx = 8 \log{\left(3 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2} \log{\left(3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x \log{\left(x \right)} - 4 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4 \log{\left(3 \right)}\, dx = 4 x \log{\left(3 \right)}$

      El resultado es: $4 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 4 x^{2} \log{\left(3 \right)} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x + 4 x \log{\left(3 \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(3 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 8 x + 4$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, dx = 4 x$

         El resultado es: $4 x^{2} + 4 x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 x^{2} + 4 x}{x} = 4 x + 4$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      El resultado es: $2 x^{2} + 4 x$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(8 x + 4\right) \log{\left(3 x \right)} = 8 x \log{\left(x \right)} + 8 x \log{\left(3 \right)} + 4 \log{\left(x \right)} + 4 \log{\left(3 \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x \log{\left(x \right)}\, dx = 8 \int x \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{2 u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

               1. que $u = 2 u$.

                  Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{e^{2 u}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 x \log{\left(3 \right)}\, dx = 8 \log{\left(3 \right)} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{2} \log{\left(3 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \log{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x \log{\left(x \right)} - 4 x$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4 \log{\left(3 \right)}\, dx = 4 x \log{\left(3 \right)}$

      El resultado es: $4 x^{2} \log{\left(x \right)} - 2 x^{2} + 4 x^{2} \log{\left(3 \right)} + 4 x \log{\left(x \right)} - 4 x + 4 x \log{\left(3 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(9 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(9 \right)}\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(9 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(9 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(9 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} - 2 + \log{\left(9 \right)}\right)+ \mathrm{constant}$