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Resolución de integrales/ (x/3)/ (1/9)*x*sin(x/3)

Integral de (1/9)*x*sin(x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |  x    /x\   
 |  -*sin|-| dx
 |  9    \3/   
 |             
/              
0
∫01x9sin⁡(x3) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{9} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx 
Integral((x/9)*sin(x/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

      Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos dudu:

      ∫usin⁡(u) du\int u \sin{\left(u \right)}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(u)) du=−∫cos⁡(u) du\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)- \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −xcos⁡(x3)3+sin⁡(x3)- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x9u{\left(x \right)} = \frac{x}{9} y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=19\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{9}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(x3)3) dx=−∫cos⁡(x3) dx3\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx}{3}

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x3)- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −xcos⁡(x3)3+sin⁡(x3)- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(x3)3+sin⁡(x3)+constant- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(x3)3+sin⁡(x3)+constant- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                       /x\         
 |                   x*cos|-|         
 | x    /x\               \3/      /x\
 | -*sin|-| dx = C - -------- + sin|-|
 | 9    \3/             3          \3/
 |                                    
/
∫x9sin⁡(x3) dx=C−xcos⁡(x3)3+sin⁡(x3)\int \frac{x}{9} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.05
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  cos(1/3)           
- -------- + sin(1/3)
     3
−cos⁡(13)3+sin⁡(13)- \frac{\cos{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
=
= 
  cos(1/3)           
- -------- + sin(1/3)
     3
−cos⁡(13)3+sin⁡(13)- \frac{\cos{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
-cos(1/3)/3 + sin(1/3)
Respuesta numérica [src] 
0.012209048024573
0.012209048024573

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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