Integral de (1/9)*x*sin(x/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $du$:

      $\int u \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \frac{x}{9}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{9}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = \frac{x}{3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

         $\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx}{3}$

      1. que $u = \frac{x}{3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

         $\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$