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Resolución de integrales/ x^1/2/ lnx^1/2

Integral de lnx^1/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  9              
  /              
 |               
 |    ________   
 |  \/ log(x)  dx
 |               
/                
4
∫49log⁡(x) dx\int\limits_{4}^{9} \sqrt{\log{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sqrt(log(x)), (x, 4, 9))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫ueu du\int \sqrt{u} e^{u}\, du

      UpperGammaRule(a=1, e=1/2, context=sqrt(_u)*exp(_u), symbol=_u)

    Si ahora sustituir uu más en:

    (x−log⁡(x)+πerfc⁡(−log⁡(x))2)log⁡(x)−log⁡(x)\frac{\left(x \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(x \right)}}}

  2. Ahora simplificar:

    xlog⁡(x)+πlog⁡(x)erfc⁡(−log⁡(x))2−log⁡(x)x \sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(x)+πlog⁡(x)erfc⁡(−log⁡(x))2−log⁡(x)+constantx \sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(x)+πlog⁡(x)erfc⁡(−log⁡(x))2−log⁡(x)+constantx \sqrt{\log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                  /                  ____     /  _________\\
  /                      ________ |    _________   \/ pi *erfc\\/ -log(x) /|
 |                     \/ log(x) *|x*\/ -log(x)  + ------------------------|
 |   ________                     \                           2            /
 | \/ log(x)  dx = C + -----------------------------------------------------
 |                                            _________                     
/                                           \/ -log(x)
∫log⁡(x) dx=C+(x−log⁡(x)+πerfc⁡(−log⁡(x))2)log⁡(x)−log⁡(x)\int \sqrt{\log{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\left(x \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{\sqrt{- \log{\left(x \right)}}}
Simplificar
Gráfica
4.09.04.55.05.56.06.57.07.58.08.51.01.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  /  ____     /    ________\                 \     /  ____     /    ________\                 \
  |\/ pi *erfc\I*\/ log(4) /         ________|     |\/ pi *erfc\I*\/ log(9) /         ________|
I*|------------------------- + 4*I*\/ log(4) | - I*|------------------------- + 9*I*\/ log(9) |
  \            2                             /     \            2                             /
−i(πerfc⁡(ilog⁡(9))2+9ilog⁡(9))+i(πerfc⁡(ilog⁡(4))2+4ilog⁡(4))- i \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(i \sqrt{\log{\left(9 \right)}} \right)}}{2} + 9 i \sqrt{\log{\left(9 \right)}}\right) + i \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(i \sqrt{\log{\left(4 \right)}} \right)}}{2} + 4 i \sqrt{\log{\left(4 \right)}}\right) 
=
= 
  /  ____     /    ________\                 \     /  ____     /    ________\                 \
  |\/ pi *erfc\I*\/ log(4) /         ________|     |\/ pi *erfc\I*\/ log(9) /         ________|
I*|------------------------- + 4*I*\/ log(4) | - I*|------------------------- + 9*I*\/ log(9) |
  \            2                             /     \            2                             /
−i(πerfc⁡(ilog⁡(9))2+9ilog⁡(9))+i(πerfc⁡(ilog⁡(4))2+4ilog⁡(4))- i \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(i \sqrt{\log{\left(9 \right)}} \right)}}{2} + 9 i \sqrt{\log{\left(9 \right)}}\right) + i \left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(i \sqrt{\log{\left(4 \right)}} \right)}}{2} + 4 i \sqrt{\log{\left(4 \right)}}\right) 
i*(sqrt(pi)*erfc(i*sqrt(log(4)))/2 + 4*i*sqrt(log(4))) - i*(sqrt(pi)*erfc(i*sqrt(log(9)))/2 + 9*i*sqrt(log(9)))
Respuesta numérica [src] 
6.779739556284
6.779739556284

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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