Integral de -(2x+2)/2(x^2+2x+2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} + 2 x\right) + 2$.

      Luego que $du = \left(2 x + 2\right) dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{3}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 2 x - 2}{2} \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2} = - x^{5} - 5 x^{4} - 12 x^{3} - 16 x^{2} - 12 x - 4$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{5}\right)\, dx = - \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 x^{4}\right)\, dx = - 5 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 x^{3}\right)\, dx = - 12 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 16 x^{2}\right)\, dx = - 16 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 x\right)\, dx = - 12 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-4\right)\, dx = - 4 x$

      El resultado es: $- \frac{x^{6}}{6} - x^{5} - 3 x^{4} - \frac{16 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 4 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$