Integral de -1/2*(x+2)^2+19 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 19\, dx = 19 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\left(x + 2\right)^{2}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \left(x + 2\right)^{2}\, dx}{2}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + 2\right)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 4\, dx = 4 x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(x + 2\right)^{3}}{6}$

   El resultado es: $19 x - \frac{\left(x + 2\right)^{3}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $19 x - \frac{\left(x + 2\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $19 x - \frac{\left(x + 2\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$19 x - \frac{\left(x + 2\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$