Integral de (x^3)/(2*x^4+8)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2 x^{4} + 8}$.

      Luego que $du = \frac{4 x^{3} dx}{\sqrt{2 x^{4} + 8}}$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{2 x^{4} + 8}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\sqrt{2 x^{4} + 8}} = \frac{\sqrt{2} x^{3}}{2 \sqrt{x^{4} + 4}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} x^{3}}{2 \sqrt{x^{4} + 4}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 4}}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{4} + 4$.

         Luego que $du = 4 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{x^{4} + 4}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \sqrt{x^{4} + 4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2 x^{4} + 8}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2 x^{4} + 8}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2 x^{4} + 8}}{4}+ \mathrm{constant}$