Integral de (7*x-8)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x - 8$.

      Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{u^{4}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{7}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{35}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 x - 8\right)^{4} = 2401 x^{4} - 10976 x^{3} + 18816 x^{2} - 14336 x + 4096$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2401 x^{4}\, dx = 2401 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2401 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10976 x^{3}\right)\, dx = - 10976 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2744 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18816 x^{2}\, dx = 18816 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6272 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 14336 x\right)\, dx = - 14336 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 7168 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4096\, dx = 4096 x$

      El resultado es: $\frac{2401 x^{5}}{5} - 2744 x^{4} + 6272 x^{3} - 7168 x^{2} + 4096 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(7 x - 8\right)^{5}}{35}+ \mathrm{constant}$