Integral de x^(1/3)*(x^3-1)/(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{9} + 3 u^{6} + 3 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{9}\, du = 3 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{10}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{6}\, du = 3 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{4}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{10}}{10} + \frac{3 u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt[3]{x} \left(x^{3} - 1\right)}{x - 1} = \frac{x^{\frac{10}{3}} - \sqrt[3]{x}}{x - 1}$

   2. que $u = - \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 u^{9} - 3 u^{6} + 3 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{9}\, du = 3 \int u^{9}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{10}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{6}\right)\, du = - 3 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{4}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{10}}{10} - \frac{3 u^{7}}{7} + \frac{3 u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(14 x^{2} + 20 x + 35\right)}{140}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(14 x^{2} + 20 x + 35\right)}{140}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} \left(14 x^{2} + 20 x + 35\right)}{140}+ \mathrm{constant}$