Integral de (4*x^3+1)^5*x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x^{3} + 1$.

      Luego que $du = 12 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

      $\int \frac{u^{5}}{12}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{12}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{72}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x^{3} + 1\right)^{6}}{72}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(4 x^{3} + 1\right)^{5} = 1024 x^{17} + 1280 x^{14} + 640 x^{11} + 160 x^{8} + 20 x^{5} + x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1024 x^{17}\, dx = 1024 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 x^{18}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1280 x^{14}\, dx = 1280 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256 x^{15}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 640 x^{11}\, dx = 640 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{160 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 160 x^{8}\, dx = 160 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{160 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 20 x^{5}\, dx = 20 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 x^{6}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{512 x^{18}}{9} + \frac{256 x^{15}}{3} + \frac{160 x^{12}}{3} + \frac{160 x^{9}}{9} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x^{3} + 1\right)^{6}}{72}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x^{3} + 1\right)^{6}}{72}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x^{3} + 1\right)^{6}}{72}+ \mathrm{constant}$