Integral de (3x^3-4x+5)/(√x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(6 u^{6} - 8 u^{2} + 10\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{6}\, du = 6 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 u^{2}\right)\, du = - 8 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 10\, du = 10 u$

         El resultado es: $\frac{6 u^{7}}{7} - \frac{8 u^{3}}{3} + 10 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 10 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 x^{3} - 4 x\right) + 5}{\sqrt{x}} = 3 x^{\frac{5}{2}} - 4 \sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 3 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 \sqrt{x}\right)\, dx = - 4 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{\sqrt{x}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{6 x^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 10 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(9 x^{3} - 28 x + 105\right)}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x} \left(9 x^{3} - 28 x + 105\right)}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x} \left(9 x^{3} - 28 x + 105\right)}{21}+ \mathrm{constant}$